کار در کلاس ۱ اثبات قوانین حد ضرب در عدد، توان، قرینه و معکوس حسابان یازدهم
فرض کنید $\lim_{x \to a} f(x)$ موجود و $c$ یک عدد دلخواه است. با استفاده از قضیه فوق، توضیح دهید چرا تساویهای زیر برقرارند؟
الف) $\lim_{x \to a} (cf(x)) = c \lim_{x \to a} f(x)$
ب) $\lim_{x \to a} (f^۲(x)) = (\lim_{x \to a} f(x))^۲$
پ) $\lim_{x \to a} (-f(x)) = -\lim_{x \to a} f(x)$
ت) $\lim_{x \to a} \frac{۱}{f(x)} = \frac{۱}{\lim_{x \to a} f(x)} \quad (\text{به شرط آنکه } \lim_{x \to a} f(x) \ne ۰)$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۳۲ حسابان یازدهم
سلام! این تمرین بر **اثبات قوانین اصلی حد** متمرکز است. ما از قوانین پایه (قانون حد ضرب) برای استخراج قوانین مشتقشده استفاده میکنیم. فرض میکنیم حد توابع $f$ و $g$ در $x=a$ وجود داشته باشد: $\mathbf{\lim_{x \to a} f(x) = L_f}$ و $\mathbf{\lim_{x \to a} g(x) = L_g}$.
**قانون اصلی مورد استفاده (قضیه فوق)**: $\mathbf{\lim_{x \to a} (f(x)g(x)) = L_f L_g}$
---
### الف) $\lim_{x \to a} (cf(x)) = c \lim_{x \to a} f(x)$ (قانون حد ضرب در عدد)
**توضیح**: تابع ثابت $g(x) = c$ را در نظر میگیریم. چون $g(x)$ یک تابع ثابت است، حد آن در هر نقطه $a$ برابر با $c$ است: $\mathbf{\lim_{x \to a} c = c}$.
از **قانون حد ضرب** استفاده میکنیم ($f(x)$ در $g(x)=c$ ضرب شده است):
$$\lim_{x \to a} (c \cdot f(x)) = (\lim_{x \to a} c) \cdot (\lim_{x \to a} f(x))$$
$$\mathbf{\lim_{x \to a} (cf(x)) = c \lim_{x \to a} f(x)}$$
---
### ب) $\lim_{x \to a} (f^۲(x)) = (\lim_{x \to a} f(x))^۲$ (قانون حد توان)
**توضیح**: تابع $\mathbf{f^۲(x)}$ در واقع حاصل **ضرب تابع $f$ در خودش** است: $\mathbf{f^۲(x) = f(x) \cdot f(x)}$.
از **قانون حد ضرب** استفاده میکنیم (با فرض $\mathbf{g(x) = f(x)}$):
$$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot f(x)) = (\lim_{x \to a} f(x)) \cdot (\lim_{x \to a} f(x))$$
$$\mathbf{\lim_{x \to a} (f^۲(x)) = (\lim_{x \to a} f(x))^۲}$$
---
### پ) $\lim_{x \to a} (-f(x)) = -\lim_{x \to a} f(x)$ (قانون حد قرینه)
**توضیح**: تابع $\mathbf{-f(x)}$ در واقع همان $\mathbf{(-۱) \cdot f(x)}$ است.
از **قانون حد ضرب در عدد** (اثبات شده در قسمت الف، با $athbf{c = -۱}$) استفاده میکنیم:
$$\lim_{x \to a} ((-۱) \cdot f(x)) = (-۱) \cdot (\lim_{x \to a} f(x))$$
$$\mathbf{\lim_{x \to a} (-f(x)) = -\lim_{x \to a} f(x)}$$
---
### ت) $\lim_{x \to a} \frac{۱}{f(x)} = \frac{۱}{\lim_{x \to a} f(x)} \quad (\text{به شرط آنکه } \lim_{x \to a} f(x) \ne ۰)$ (قانون حد معکوس)
**توضیح**: این قانون یک حالت خاص از **قانون حد تقسیم** است ($athbf{\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}}$). در اینجا، تابع صورت $\mathbf{g(x) = ۱}$ است (تابع ثابت).
از **قانون حد تقسیم** استفاده میکنیم (با فرض $\mathbf{g(x) = ۱}$ و شرط $\mathbf{\lim_{x \to a} f(x) \ne ۰}$):
$$\lim_{x \to a} \frac{۱}{f(x)} = \frac{\lim_{x \to a} ۱}{\lim_{x \to a} f(x)}$$
چون حد تابع ثابت $1$ برابر $1$ است:
$$\mathbf{\lim_{x \to a} \frac{۱}{f(x)} = \frac{۱}{\lim_{x \to a} f(x)}}$$
